几何大题的初中数学做题思路

学习啦  慧良   2019-07-11 16:02:49

  几何证明题入门难,证明题难做,已经成为许多同学的共识…今天分享几何证明题思路及常用的原理,一定要好好看并且收藏起来!小编整理了相关知识点,快来学习学习吧!

  几何大题的初中数学做题思路

  几何证明题的思路

  很多几何证明题的思路往往是填加辅助线,分析已知、求证与图形,探索证明。

  对于证明题,有三种思考方式:

  1.正向思维。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。

  2.逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。在初中数学中,逆向思维是非常重要的思维方式,在证明题中体现的更加明显。

  同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手,建议你从结论出发。

  例如:

  可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去…

  这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。

  3.正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目,可以结合结论和已知条件认真的分析。

  初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到中点倍长法。

  给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。正逆结合,战无不胜。

  证明题要用到哪些原理

  要掌握初中数学几何证明题技巧,熟练运用和记忆如下原理是关键…

  下面归类一下,多做练习,熟能生巧,遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题…

  一、证明两线段相等:

  1.两全等三角形中对应边相等。

  2.同一三角形中等角对等边。

  3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

  4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

  5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

  6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

  7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

  8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

  9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

  10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

  11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

  12.两圆的内(外)公切线的长相等。

  13.等于同一线段的两条线段相等。

  二、证明两个角相等:

  1.两全等三角形的对应角相等。

  2.同一三角形中等边对等角。

  3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。

  4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

  5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。

  6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

  7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

  8.相似三角形的对应角相等。

  9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

  10.等于同一角的两个角相等。

  三、证明两条直线互相垂直:

  1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

  2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。

  3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。

  4.邻补角的平分线互相垂直。

  5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。

  6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

  7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

  8.利用勾股定理的逆定理。

  9.利用菱形的对角线互相垂直。

  10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

  11.利用半圆上的圆周角是直角。

  四、证明两直线平行:

  1.垂直于同一直线的各直线平行。

  2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

  3.平行四边形的对边平行。

  4.三角形的中位线平行于第三边。

  5.梯形的中位线平行于两底。

  6.平行于同一直线的两直线平行。

  7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。

  五、证明线段的和差倍分:

  1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等。

  2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。

  3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。

  4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段。

  5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。

  六、证明角的和差倍分:

  1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

  2.利用角平分线的定义。

  3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

  七、证明线段不等:

  1.同一三角形中,大角对大边。

  2.垂线段最短。

  3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

  4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大。

  5.同圆或等圆中,弧大弦大,弦心距小。

  6.全量大于它的任何一部分。

  八、证明两角的不等:

  1.同一三角形中,大边对大角。

  2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

  3.在两个三角形中有两边分别相等,第三边不等,第三边大的,两边的夹角也大。

  4.同圆或等圆中,弧大则圆周角、圆心角大。

  5.全量大于它的任何一部分。

  九、证明比例式或等积式:

  1.利用相似三角形对应线段成比例。

  2.利用内外角平分线定理。

  3.平行线截线段成比例。

  4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

  5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

  6.利用比利式或等积式化得。

  十、证明四点共圆:

  1.对角互补的四边形的顶点共圆。

  2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

  3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。

  4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

  5.到顶点距离相等的各点共圆。

  学数学,需要如何刷题?

  2019年高考数学题可以说是给所有考生和高中数学老师一个狠狠的警示,带着“改革”的信号,告诉我们高中数学教师要反思自己的教学了,需要认真思考如何对待和实施高中数学教学。目前大多数学生学习知识都处于“知其然而不知其所以然”的状态,包括一些可以考入一本线的学生。

  学习时,都是“埋头做题”,实际上对很多基本概念、定义、性质及定理置之不理,甚至很多学生连每一节的标题内容都记忆不深刻,理解不透彻(比如很多学生不知道基本不等式形式),出现这些,我作为一线工作者深感惭愧,这到底是哪里出了问题?

  反复思考,感觉需要改进的地方太多了!比如,学生如何处理眼前的众多题目,这就是一个很大的问题。我们不能把所有学生都看作是非常聪明的学生去对待,当面对的是中等资质的学生,应该如何教学,如何指导学生做题?

  “刷题”,似乎已经成为我国教育上的一个特色词汇。用来描述教育制度僵化落后,教学方法生硬死板,全面提倡题海战术,在中小学里普遍存在。而且在“刷题”的世界里,数学绝对位列榜首。

  那么,刷题有错吗?

  没错!数学家们都表示,学习数学离不开解题。深入思考,也许错的不是“刷题”,而是“刷题”的方式。

  为了在考试中拿到不错的分数,我们的数学教育把重点放在了怎样去解题,学生掌握了很多的解题技巧和套路,可以提升解题速度,但是到后期学习更高级的数学知识,发现数学本质,理解数学原理,并从中探寻到为什么,更有助于锻炼学生的数学思维,培养数学素养。

  对于我们的学生,相比于“思考与探索”,“记忆和重复”似乎才是一件更为擅长的事。这应该怪罪于我们,作为老师我们有时也会跳过引导学生思考的过程,直接传授解题思路,之后为了应对考试,学生做大量重复的习题,所得到的实际意义并不大。我们重复的是已有的逻辑和思维模式,巩固的是“计算能力”,而很难培养逻辑能力和抽象能力。而且此处的“计算能力”并不是绝对的运算能力,遇到繁琐的计算依然很难算出正确结果,比如2017年高考数学全国二卷中的独立性检验以及立体几何的计算把很多考生都难住了,那我们“刷题”的效果呢?

  所以,我们正确的刷题应该是做那些只有25%-75%的可能性完全做对的“难题”,并花足够多的时间去思考,而不是一味地重复做那些答对几率达到90%以上的题目,这样即使你最后没有做出那道题,也比重复做简单的题有收获得多。当你面对一道难题,你必须变得有创造力想办法解决这个问题,利用数学中最本质的(定义、定理、性质)去解决问题。

  如果你总是在想重复中形成的解题“套路”,就很难激发自己的创造力,那么所谓的数学思维即是空谈。一旦遇到“套路”之外的东西,则举步维艰,因为这些“套路”,“套”住了的思维,也“套”住了原本活跃充满创造力的大脑。而今年高考,恰恰就在“反套路”上下了功夫。

  “学而不思则罔,思而不学则殆”,数学是思维的体操,没有思维,就没有真正的数学学习。题不是刷的越多越好,如果缺乏反思深入思考,会降低学习效率,事倍功半。我们应该做到让学生通过数学学习,可以发展思维,发现本质,掌握原理。学会思维,是数学学科所应关注的核心素养。如郑毓信教授所谈的,“数学核心素养的基本涵义就在于:我们应当通过数学教学帮助学生学会思维,并能使学生逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理”。

  学习的本质,不在于记住了哪些知识,而在于它触发了你的思考。衷心希望各位同学在学习数学的道路上,学会“刷题”,学会思考,体会成功。


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